理化学研究所など、スーパーコンピューター「京」で世界最大規模の固有値計算に成功

「京」を使い世界最高速の固有値計算に成功
－超巨大行列の固有値を１時間で計算－

＜本研究成果のポイント＞
　○「京」の全計算プロセッサを利用した世界最大規模の固有値計算に成功
　○半導体や新材料の開発などのシミュレーションがより大規模化・高速計算が可能に
　○大規模シミュレーションを実現するソフトウエア「EigenExa」を公開

　理化学研究所（理研、野依良治理事長）は、大規模コンピュータシミュレーションや、ビッグデータにおけるデータ相関関係の解析などに必要な行列［１］の固有値を高速で計算できるソフトウエア「EigenExa（アイゲンエクサ）」を開発しました。EigenExaを用い、スーパーコンピュータ「京」［２］で１００万×１００万の行列での固有値計算を行った結果、これまで１週間程度必要だと考えられていた計算を、わずか１時間で計算することに成功しました。これは、理研計算科学研究機構（平尾公彦機構長）大規模並列数値計算技術研究チーム（今村俊幸チームリーダー）を中心とする研究チームによる成果です。
　複雑な方程式を数値的に解く計算科学分野では大きなサイズの行列の固有値を求める（行列の対角化［３］）ことを頻繁に行います。この手法は、半導体デバイス設計や新材料開発、新薬の探索などを行うための大規模コンピュータシミュレーションや、バイオインフォマティクスや社会科学などで用いられるデータ相関関係の解析などによく使われます。しかし、行列の固有値計算は、その計算量が行列の次元（１行当たりの要素の個数）の３乗に比例して増加するため、これまでのコンピュータでは能力不足でした。「京」の登場によりコンピュータの能力不足の面は大幅に改善されましたが、「京」の能力を生かし切る固有値計算用の数学ソフトウエアは存在しませんでした。そのため、大規模な固有値問題は非常に難しい問題のひとつでした。
　行列の固有値計算では、いったん行列を固有値計算が行いやすい形に変換し、それを中間形式として取り扱います。通常、中間形式としては帯行列［４］（ゼロでない要素が対角線上に帯状に分布する行列）が採用されます。本研究チームはこれまでの変換アルゴリズムとは全く異なる新しい計算アルゴリズムを考案し、それを基にEigenExaを開発しました。今回、「京」の全６６３，５５２プロセッサ（理論ピーク性能１０．６ペタFLOPS）とEigenExaを用いて計算し、世界最大規模の１００万×１００万の密行列［５］（行列を構成する要素がゼロでない行列）の固有値を求める計算が１時間以内で可能なことを確認しました。この時の「京」での実効速度は１．７ペタFLOPS（理論ピーク性能比１６％に相当）という極めて高い数値を記録しました。EigenExaは２０１３年８月１日より、オープンソースソフトウエアとして一般に公開されています。
　本研究の一部は、科学技術振興機構（JST）戦略的創造研究推進事業CRESTの一環として行われました。

１．背景
　行列の固有値計算（行列の対角化）は、半導体設計や未知の性質を持つ材料の開発、新薬設計などのための大規模なコンピュータシミュレーションや、ビッグデータにおけるデータ相関関係の解析などで必ず使用される計算法です。特に、コンピュータシミュレーションで行われる行列の固有値計算の大部分は、行列の左上から右下への対角線を基準に対称な行列で、かつ全ての要素が実数である実対称行列［７］の標準固有値問題［８］あるいは一般化固有値問題［８］と呼ばれるものです。大規模な問題では行列の次元（縦横のサイズ）は数万から数十万になります。
　行列の標準固有値問題や一般化固有値問題は、行列の１行当たりの要素数の３乗に比例して計算量が増加することが知られています。要素数が２倍になれば計算量は８倍になるということです。小規模な問題を扱う場合には一般的なコンピュータでもわずかな時間で計算できますが、問題サイズが数倍になるだけで計算することが難しくなります。計算時間の削減のためには、「京」のような高い計算能力のスパコンを利用することが必要です。
　また、固有値計算では専門的な数学の知識が必要になるため、専用の数学ソフトウエアを利用することが一般的です。しかし、現在のスパコンで利用されている標準的な数学ソフトウエアは１９９０年代後半のスパコンをベースに設計・開発されているため、「京」のような超並列コンピュータを想定して開発されていません。また、こうした標準数学ソフトは、新しいプロセッサ技術の登場や、さまざまなプログラミング言語が利用されている現在では、最先端のソフトウエアとは言えなくなりつつあります。したがって、最新鋭のコンピュータの能力を活かすためには、最先端のハードウエアを分析し、それに適した計算アルゴリズムを採用した新しいソフトウエアを新たに開発する必要があります。
　固有値計算は多くのシミュレーションで必要不可欠です。しかし、計算時間がかかるために大規模問題を高速に計算することが難しい問題のひとつでした。そのため、これまでは近似や問題サイズを小さくするなどして大規模な固有値問題の計算を避ける傾向がありました。しかし、１秒間に１京回以上の浮動小数点計算が可能な超並列のスパコンが続々と出現している現在、その計算能力を活用してより大規模な固有値計算を高速に計算するソフトウエアへの要求が高まっています。さらに、それを実現するソフトウエアがフリーソフトウエアとして広く公開されることが、計算科学分野と産業界の双方の研究者から期待されています。

２．研究手法と成果
　一般的に固有値の計算は行列をより固有値計算が行いやすい行列に変換し、それを中間形式として取り扱います。従来の計算アルゴリズムは、（１）行列を構成する要素がゼロでない行列である密行列を、三重対角行列［４］（帯行列の中で行列の対角線上の要素とその上下にゼロでない要素がある行列）に変換する前処理を行います。（２）その後に、三重対角行列の固有値計算を解き、固有値と対応する固有ベクトル［４］を計算します。（３）最後に、もとの行列の固有ベクトルにするための後処理を行います。図の緑線部分はこの３段階の流れを示しています。しかし、三重対角行列に変換する前処理が、最も計算時間を必要とする部分であることが、固有値計算の問題となっています。
　この問題への解決方法として、前処理として一度、帯行列に変換し、さらに三重対角行列に変換する２段階のスキームとする手法（図の青線部分）も開発されました。しかし、この２段階スキームは前処理部分を高速化できますが、後処理部分の計算量が２倍以上に増加するため、固有ベクトルの計算も含めた新しいスキームの開発が進みませんでした。
　そこで、研究チームでは、前処理に三重対角行列を経ずに、直接帯行列を経由して固有値と固有ベクトルを求めるアルゴリズムを採用した「新しい１段階スキーム」に基づいた固有値計算ソフトウエア「EigenExa」を開発しました（図の赤線部分）。新しい１段階スキームでは、前処理は２段階スキームに類似した性質を持ち、後処理は今までの古い１段階スキームと同じ性質を持ちます。また、固有値計算部分は三重対角行列を計算する場合に比べて数倍増加しますが、前処理での処理時間削減の効果が大きいため、新しい１段階スキーム全体はより少ない計算時間となります。図の左右にある薄黄色と薄青色で塗りつぶした三角形の部分がそれぞれ前処理、後処理に対応しています。
　研究チームは、EigenExaを２０１３年８月１日、オープンソースソフトウエアとして一般に公開しました。EigenExaは大規模並列数値計算技術研究チームのホームページ（http://www.aics.riken.jp/labs/lpnctrt/index.html）からダウンロードできます。すでに「京」にもインストールされ、「京」のアカウントを持つユーザであれば誰でも利用できます。
　２０１３年８月に行われた「京」の大規模ジョブ実行では、「京」の全６６３，５５２プロセッサ（理論ピーク性能１０．６ペタFLOPS＝１秒間に１京６００兆回の浮動小数点計算をする能力）でのEigenExaの動作確認と性能測定を行いました。「京」の計算用プロセッサの全てを使用するため、対象となる問題も世界最大規模の１００万×１００万までの数字がランダムに並んだ密行列を用いました。
　測定の結果、１００万×１００万の行列の固有値計算が約１時間で完了することを確認しました。その際の処理の実行速度は「京」の理論ピーク性能の１６％に当たる１．７ペタFLOPSという極めて高い数値でした。固有値計算は遠距離にあるプロセッサ同士の通信を必要とするため高い性能が得られにくいのですが、この実行速度は隣接するプロセッサ間などの単純な通信で構成される大規模シミュレーションが記録する数値と同等のものです。国内に存在する１００テラFLOPS級のスパコンを使っても，１週間程度の占有利用をしなければ計算できない問題が１時間程度で計算可能になったことは極めて画期的といえます。
　また、この規模の固有値計算が可能なスパコンは世界に数台ありますが、１００万×１００万の行列の固有値問題が計算されたという報告はこれまでにありません。過去の世界最大規模の固有値計算として、地球シミュレータの４，９９２プロセッサを用いて４０万×４０万行列を３時間半で行った記録がありますが、EigenExaはそれを大幅に上回る大規模な計算に成功しています。
　コンピュータシミュレーションでは固有値計算のような基本部分の計算に１時間以上要する場合は、現実的な問題サイズとは判断されません。今回の計算結果は、「京」の高い計算能力と高性能なEigenExaの利用により、数十万から１００万程度の固有値問題は１時間弱で計算が可能であり、現実的なコンピュータシュミレーションに活用できることを示しています。

３．今後の期待
　今回の研究開発により、「京」においては、数万×数万から１００万×１００万の行列の固有値計算はごく普通の計算の範疇に入ることが立証されました。つまり、シミュレーションの中でより大規模な問題に対して固有値計算を実行できます。また、これまでの計算手法を比べて、同じ規模の行列であれば、より高い計算精度で求めることができるようになります。現在「京」で固有値計算を実施している主な分野には量子物理や量子化学があります。今回の研究成果を応用することで、今後、多くのシミュレーションの規模を大幅に拡大することが可能となります。例えば、数万原子からなる大規模な分子の量子化学計算では通常省略される全系軌道計算が短時間にできるようになり、反応性などのより詳細な議論が可能となります。他にも、新物質の性質を調べるための大規模な量子スピン系の３次元シミュレーションが可能になります。これらを通じて、半導体デバイス設計や新材料開発、新薬設計に大きく貢献すると期待できます。
　なお本研究の一部は、JST戦略的創造研究推進事業CREST「ポストペタスケール高性能計算に資するシステムソフトウェア技術の創出」（研究総括：米澤明憲（独立行政法人理化学研究所計算科学研究機構））における研究課題「ポストペタスケールに対応した階層モデルによる超並列固有値解析エンジンの開発」（研究代表者：櫻井鉄也筑波大学大学院共同研究者：今村俊幸）の一環として行われました。

リリースコンテナ第3倉庫

[PR]

理化学研究所など、スーパーコンピューター「京」で世界最大規模の固有値計算に成功

Comment0 Comment

Comment Form